Diffusionsmodelle zur Berechnung der Nitrierschicht

Die Wirtschaftlichkeit der Nitrierbehandlung erfordert eine gute Reproduzierbarkeit und weitgehende Berechenbarkeit der Behandlungsergebnisse als Grundlage für die Automatisierung der Technologien. Deshalb sind mathematisch formulierbare Modellvorstellungen dieser Wärmebehandlungs- prozesse zu entwickeln, ständig dem jeweiligen Erkenntnisstand anzupassen und ihre Leistungsfähigkeit kritisch einzuschätzen.

1 Die drei Schwerpunkte einer Modellrechnung

Modellrechnungen zum Wachstum von Nitrierschichten gründen auf drei Schwerpunkten, die mathematischen zu beschreiben sind:
– Den ersten Schwerpunkt bilden die thermisch – chemischen Grenzfälchenreaktionen zwischen Gasatmosphäre und Festkörper, die den Massestrom J der Stickstoffatome durch die Grenzfläche gemäß dem 1. Fick’schen Gesetz quantifizierbar machen.
– Im zweiten Schwerpunkt werden die Diffusionsvorgänge zur Beschreibung des Stickstofftransportes unter dem Einfluß eines Konzentrationsgradienten als treibende Kraft in das Werkstoffinnere berücksichtigt. Dazu muss die Diffusionsgleichung für jedes Phasengebiet gelöst werden.
– Der dritte Schwerpukt umfaßt die Bereitstellung der im Modell enthaltenen Werkstoffgrößen, wie die auf die Stickstoffkonzentration bezogenen legierungsabhängigen Existenzbereiche der einzelnen Phasen und ihre Stickstoffdiffusionskoeffizienten.

2 Das Gleichgewichtsmodell der Stickstoffdiffusion

Zur Modellierung eines diffusionsgesteuerten Prozesses bedient man sich in jedem Falle der beiden Fick’schen Gesetze sowie zusätzlicher, den jeweiligen Gegebenheiten entsprechenden Randbedingungen zur Lösung der Diffusionsgleichung. Das nachstehende Modell ist so aufgebaut, daß eine geschlossene mathematische Behandlung mit Hilfe der Seperationsmethode zu einer Lösung führt.

2.1 Das Experiment – Grundlage des Modellansatzes

Die Erarbeitung des Lösungsansatzes basiert auf gezielten Nitrierexperimenten, die zugleich als Indikator für die Qualität der Modellrechnung dienen. Eine Probenreihe aus verschiedenen Eisen – Chrom – Legierungen wurde gasnitriert, wobei die Wärmevorbehandlung, die Nitrieratmosphäre, die Temperatur und die Nitrierdauer variiert wurden.
Zur Beurteilung der Nitrierergebnisse wurden mittels Elektronenstrahlmikroanalyse quantitativ bestimmte Stickstoffkonzentrationsprofile, Mikrohärtemessungen und metallografische Untersuchungen herangezogen.

2.2 Das mathematische Modell zur Berechnung von Stickstoffkonzentrationsprofilen

Auf der Grundlage dieser experimentellen Ergebnisse läßt sich ein Stickstoffdiffusionsgleichgewichtmodell für technische Eisenlegierungen unter Berücksichtigung des Einflusses der Legierungselemente in Analogie zur mathematischen Behandlung der inneren Oxidation nach C. WAGNER aufbauen.
Nachfolgend sei der mathematische Lösungsweg dargestellt:
Für den Stofftransport durch die Phasengrenzflächen lassen sich drei Gleichgewichtsbedingungen formulieren:

1. Die Substanzmenge, die die Grenzfläche zwischen der ε – und ν‘ – Phase im Zeitintervall dt um den Betrag dx verschiebt, ist gleich der Substanzmenge, die die Grenzfläche im Zeitintervall dt erreicht, abzüglich der Substanzmenge, die in die ν‘ – Pase eindringt.

2. Analog dazu läßt sich die Substanzmenge zum Verschieben der Grenzfläche zwischen der ν‘ – und der α -Phase formulieren.

3. An der Ausscheidungsfront ist die Menge des ankommenden Stickstoffes gleich der des herandiffundierenden Legierungselementes, um stöchiometrisches CrN bilden zu können.
Das Ziel besteht nun darin, die im 2. Fick’schen Gesetz als Funktion von der Zeit t und dem Ort x enthaltene Konzentration C für jedes Phasengebiet explizit zu berechnen. Dabei sind nur die Lösungen interessant, die den jeweiligen Randbedingungen genügen. Mit Hilfe der Separationsmethode läßt sich ein partikuläres Integral finden, das den Randbedingungen genügt.
Diese Lösungen enthalten jedoch noch die aus den parabolischen Zeitgesetzen stammenden Wachstumskonstanten für jedes Phasengebiet. Zur Bestimmung dieser Konstanten werden von den orts – und zeitabhängigen Konzentrationsverläufen jeweils die ersten Ableitungen nach dem Ort gebildet. Diese Differentialquotienten werden in die eingangs formulierten Gleichgewichtsbedingungen eingesetzt und man erhält ein transzendentes Gleichungssystem zur Bestimmung der Konstanten. Damit sind nun sowohl die Schichtdicken als auch die Stickstoffkonzentration im ε -, γ‘ – und α -Gebiet als Funktion des Oberflächenabstandes und der Nitrierzeit berechenbar.

2.3 Die Ergebnisse der Modellrechnung und ihre Bewertung

Das Nitriermodell wurde an 72 verschiedenen Nitrierproben überprüft. Dazu wurde entsprechend der Gleichgewichtsbedingung über den Stofftransport an der Reaktionsfront dem Ende der Ausscheidungsschicht definitionsgemäß derjenige Abstand vom Rand zugeordnet, an dem der Stickstoffgehalt auf den Betrag abgesunken ist, der das Chrom stöchiometrisch zu CrN bindet.
Als Grundlage der Modellbewertung dient das Verhältnis von gemessener zu berechneter Ausscheidungsschichtdicke. Der Mittelwert aller Verhältnisse beträgt 0,884 bei einer Standardabweichung von 0,175.
Trotz der für statistische Betrachtungen kleinen Versuchszahl von 72 lässt sich die Normalverteilung der Verhältnisse belegen. Damit kann sich die Leistungsfähigkeit des Modelles wie folgt formuliert werden:

Das Modell ist in der Lage, für eine beliebige Nitrierprobe zu garantieren, daß mit einer Wahrscheinlichkeit von 68% das Verhältnis von experimentell bestimmbarer zu berechneter Ausscheidungsschichtdicke zwischen 0,71 und 1,06 liegt.

Das vorangestellte Beispiel eines Modells kann die Vielfalt und Komplexität der bei der Nitrierung ablaufenden Gesetzmäßigkeiten nur entsprechend dem aktuellen Kenntnisstand beschreiben. Deshalb darf der Modellanwender nicht die exakte Vorausberechnung seines Nitrierergebnisses erwarten. Der praktische Nutzen eines Modells soll vielmehr darin gesehen werden, durch richtige Tendenzwiedergabe den experimentellen Weg zur anwendungsgerechten Nitrierschicht wesentlich zu verkürzen.

Quellenangaben:

Heger, D.:“Die mathematische Modellierung des Stickstoffkonzentrationsprofiles der Ausscheidungsschicht nitrierter Eisenlegierungen am Beispiel von Fe-Cr-Legierungen in Abhängigkeit der Nitrierparameter“; Dissertation A, TU Bergakademie Freiberg, 1990

Heger, D.; Bergner, D.:“Die Berechnung der Stickstoffverteilung in gasnitrierten Eisenlegierungen“; ; HTM 46( 1991 )6 S.311-338